不为积习所蔽  不为时尚所惑
——由“分数乘、除法”新老教材对比引发的思考
安徽省安庆市石化第三小学(246001)焦 波

    “分数乘、除法”是新课程中的老内容。在平时的听课、研讨中,发现老师们教学往往存在两种偏差:一是认为这些内容已了然于胸,只要按照传统经验教就可以了;二是为了体现新课程的“新”,在教学形式上不断翻新,在教学方法上为了创新而创新。这两种做法都不利于新课程的实施,致使新课程理念难以有效落实、传统教学经验难以有效传承。究其原因,笔者认为,主要是新课程理念与传统教学观念之间未能达到“和谐共振”。
    随着新课标教材的广泛使用,考虑到老师们传统的教学观念与新课程理念间可能存在的差异,以及教材更替过程中传承与创新间可能存在的矛盾等因素,将“分数乘、除法”新老教材(人教版)放在一起对比分析,对于我们把握新课程的精神实质,领会新教材的编写意图,化解新课改的教学困惑,具有一定的价值。通过对比,自然引发了笔者对新课程背景下“分数乘、除法”教学的一些思考。
    思考一:分数乘、除法的意义与计算法则要不要演绎?如何演绎才是有效、高效的?
    人教版六年级课标教材,不再像义教教材那样,单独呈现教学分数乘、除法的意义的内容,出示文字叙述式的计算法则,与之相匹配的教师用书,也没有明确提出要使学生理解分数乘、除法的意义,掌握分数乘、除法的计算法则的教学目标,只是笼统地概括为“理解并掌握分数乘、除法的计算方法,会进行分数乘、除法计算”这一目标。
    同一内容,两套教材编排的体例大相径庭。两相比较我们不难发现,课标教材充分体现了新课程的理念——力求让学生通过解决实际问题,结合具体情境和计算过程去理解运算意义,主张通过直观与操作等手段寻求答案,为学生探索与交流提供了更多的空间。应该说,课标教材十分关注学生已有的经验,更加注重对意义的理解,特别强调在算理直观中理解算法,其编写的意图是明显的,内涵是丰富的。
    听课中,发现有的教师误认为课标教材淡化了意义的教学,有一带而过的教学倾向,更谈不上让学生结合具体情境和计算过程去理解运算意义。对于法则教学,不少教师还拘泥于传统的的教学模式,不善于引导学生通过探索与交流的方式理解算理、掌握算法,不舍得花时间让学生经历计算方法的探索过程,冷不防就使学生陷入了“记忆法则,机械训练”的泥潭。读懂了这些,演绎的策略就自然彰显出来。
    1.合理运用类比思维,结合具体情境和计算过程演绎并理解分数乘、除法的意义。
    以分数除法教学为例,意义的演绎过程可大致安排如下:
    (1)创设类比情境。可以先复习整数乘、除法的意义,再让学生进行把乘法算式改写为除法算式的练习,为类比做好铺垫。
    (2)教学类比问题。①出示例题的插图,让学生提出用乘法计算的问题并口头解答;②学生改编成用除法计算的问题并口头解答;③将100g改成1/10kg,引出一个分数乘法算式和两个分数除法算式;④通过对比与迁移,使学生认识到这些问题无论涉及整数还是分数,都是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
    (3)巩固类比成果。做例1下面的“做一做”。
    2.恰当运用转化思想,借助直观操作和具体图示探索并内化分数乘、除法计算法则
    以分数除以整数教学为例,法则的演绎过程可大致安排如下:
    (1)夯实转化基础。可复习四个方面的知识:①分数及分数单位的意义;②倒数的意义;③分数乘法的计算方法;④分数乘、除法的意义。
    (2)突出转化过程。①直观操作。通过折纸、涂色活动,探索计算结果,并为理解算理提供形象支撑;②符号操作。运用数形结合的思想,对照不同的折法,引导学生分别从分数单位的意义和分数的意义两个角度理解两种方法的算理;③激疑比较。将例题改成“把一张纸的4/5平均分成3份,每份是这张纸的几分之几?”解答时,学生很容易将用整数去除被除数的分子的方法迁移过来,结果发现不能整除,从而体会到这种方法的局限性。当学生产生质疑时,我们及时诱导他们经历由特殊到一般的规律探索过程。这样,联想分数的意义,体悟把一个数平均分成几份,就是求这个数的几分之一是多少的转化方法,就自然凸显出来。
    (3)内化转化经验。让学生用语言描述转化的过程,完成表象操作,内化计算法则。
    思考二:“分数四则混合运算”到底该怎样教?
    义教教材专门安排了“分数四则混合运算”的章节,编排了3个纯数学范畴内的分数四则混合运算例题,而课标教材只是设置了一道例题(例4),是以实际问题为载体,引出分数混合运算。对课标教材的编排老师们普遍感到不适应,尤其对教学目标如何定位感到非常困惑,即同一节课内,要求同时达到“算”和“用”的两个目标,这样平分秋色会不会顾此失彼,要不要考虑孰先孰后,孰轻孰重?教学中老师们往往举棋不定。有的主张要以“用”为主,让学生在解决实际问题中理解运算顺序,即用解决问题演绎“法则”;有的认为要以“算”为主,要加强训练,从而为能熟练地解决问题服务,即用“法则”丰富解决问题。
    其实,这一争议由来已久,在整数四则混合运算中就有。笔者认为,对于例4来说,这种争议意义不大,怎样教?关键要以学定教,变教堂为学堂。因为四则混合运算的顺序是数学上的一种规定,数学上的规定大多是根据数学本身运算的特点来决定的,非得让学生通过现实生活的情境,去理解应属于纯数学范畴的运算顺序,逻辑上是行不通的(周玉仁老师语)。看来,“四则混合运算”属于数学规则教学的范畴,它理应遵循数学规则教学的基本规律,固执地认为运算顺序产生于生活情境,是不切实际的,因为生活中的问题,有的要先算乘除,有的要先算加减。即便是这样,也应在整数四则混合运算中进行重点演绎,包括四则运算法则。
    课标教材中,“分数四则混合运算”(例4)这样编排,与计算教学的新理念——在解决问题中进行计算教学,是一脉相承的。其目的,一是让学生在学习分数混合运算时,初步看到分数除法在解决一般实际问题中的应用,从而增强学生的数学应用意识,二是通过知识的迁移解决实际问题,切实让学生领会到已经掌握的混合运算顺序,同样适用于分数运算,进一步提高学生解决问题的能力。与老教材相比,这样编排避免了重复,节约了资源,丰富了内涵,但也有弱化计算之嫌,教学中,可结合实际情况,克服例4过于简约的现实,借鉴老教材适当补充一些例子,有针对的加强训练,显得非常有必要。
    思考三:分数乘、除法“解决问题”的编排,题量少了,难度降了,所承载的教育价值“贬值”了吗?
    义教教材除在分数乘、除法教学单元各编排两个例题外,在应用题教学单元还编排了9个不同类型的例题。而课标教材一共只编排了4个基本的、比较典型的实际问题。对于数量关系较为复杂的问题,如分数连除、分数乘除复合应用题等,课标教材中不再涉及,从而降低了教与学的难度。
    比较而言,老教材编排体系清晰,有利于数量关系的分析和逻辑思维能力的培养。那老师们不禁要问,课标教材分数乘、除法“解决问题”的教育价值何在?其实不然,2001年颁布的《数学课程标准(实验稿)》在解决问题的具体目标阐述中明确指出:“初步学会从数学的角度提出问题、理解问题,并能综合运用所学的知识和技能解决问题,发展应用意识。形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神。”为此,新教材彻底改变了“一例一类题”的编排形式,避免了“类型化”的教学模式,编排的形式活泼,结构开放,强调从运算意义和数学思想方法出发进行解决问题的教学。从这一层面上讲,教学难度不仅没降,反而加大了。
    数学是人们生活、学习和工作必不可少的工具,数学的思想和方法将伴随人的一生。新教材体现了为学生发展服务的理念,即让学生在解决问题的过程中学会思考,学会提问,学会合作,学会反思。这是数学教育真正的价值所在,我们不仅要认真领会它,更要积极落实它。怎样实施呢?不妨看看下面的案例。
    [案例] 课标教材分数除法解决问题例1。
    1.(出示医生的话)师:2/3和4/5的分母、分子的含义分别是什么?这两句话告诉了我们哪些数量关系?
     (学生独立思考后,全班交流)
    生1:2/3的分母是指成人的体重,分子是指成人体内水的质量,(引导说出)把成人的体重看作3份时,成人体内水的重量就是2份。
    生2:4/5的分母是指儿童的体重,分子是指儿童体内水的质量,(引导说出)把儿童的体重看作5份时,儿童体内水的重量就是4份。
    生3:第一句话的数量关系式是:成人的体重×2/3=成人体内水的质量。
    生4:第二句话的数量关系式是:儿童的体重×4/5=儿童体内水的质量。
    2.(出示小明的话)师:根据以上信息,你能提出哪些数学问题?
    生5:小明的体重是多少千克?
    生6:爸爸的体重是多少千克?
    3.师:要求小明的体重需选用哪些信息?为什么?
    生7:在小明的话中要选“我的体内有28kg水分”这条信息,在医生的话中要选“儿童体内的水分约占体重的4/5”这条信息,因为它们之间有直接联系。
    4.师:谁来把题目完整地编出来?
    (出示完整的题目)
    5.师:请同学们用自己喜欢的方式表示题中数量关系?先独立解答,再组内交流。
    6.师:请各小组派代表汇报自己的方法。
    方法1:方程解(过程从略)
    方法2:28÷4/5=35(千克)
    方法3:28÷4×5=35(千克)
    7.师:说说各自的解题思路,再把自己的方法与其他同学比较比较,相互借鉴借鉴。
    (学生汇报,教师结合线段图和数量关系式,重点讲解方程法)
    ……
    传统的应用题教学最大的缺失就是忽视了问题意识,呈现的问题条件不多不少,并与问题完全匹配,不需要学生自己去发现问题和提出问题。案例中,让学生从纷乱的实际问题中提取有用的信息,从数学的角度抽象出数学问题,突出了问题意识;放手而不放任地让学生用自己喜欢的方式,探索和分析解题方法,获得解题的基本策略,体验解决问题策略的多样性,增强了策略意识;鼓励学生同他人进行合作学习,相互借鉴解题策略,交流思维的过程和结果,不仅促进了学生思维能力的发展,还有利于培养学生的合作精神与反思习惯。这些都是未来人所必备的基本素质,也正是新课程把“解应用题”改为“解决问题”的根本用意所在。
    思考四:教学分数乘、除法“解决问题”,到底以什么为抓手?
    打开课标教材,不难发现,新教材破除了老教材中应用题教学分类编排的体系,所编排的4个典型的分数乘、除法“解决问题”,都是从解决实际问题引入,并用已学的分数乘、除法的运算方法予以解决,但“根据已知条件解
答相关问题”的本质属性没变。这种以“所学运算体现的数量关系”为线索的编排方式,是课标教材“解决问题”编排的主要线索。看来,以数量关系为抓手,通过问题解决培养学生的思维,是“应用题”教学永恒的主题。
    由于新教材鼓励学生根据已有经验解题,倡导学生运用数形结合、合情推理及其他非形式化的策略解题,许多教师在教学中把关注点集中在情境创设、信息收集、抽象数学问题等环节上,对数量关系的分析往往比较简单、草率。实践表明,解决问题的核心是分析题中的数量关系。过去应用题教学存在“套题型”的现象,如分数乘、除法应用题的教学,不少教师不从乘除法的意义和分析数量关系入手进行教学,而是机械化地让学生找单位“1”, 判断单位“1”的量是已知还是未知,已知用乘法,未知用除法。学生就是做对了,大多也是知其然,不知其所以然。这是我们教学思想出了问题,不是数量关系式的错。
    如何找数量关系,思考三中的案例给了我们很多启示:教师引导学生从分数意义的新视角上,领悟把哪个量平均分成若干份,那个量就是单位“1”;在一个数乘以分数意义的教学框架内,引导学生如何抓关键句写等量关系式。这种以分数的意义为起点,以一个数乘以分数的意义为过渡,以找等量关系式为目标的教学,有利于夯实分数除法“应用题”的教学基础——一个数乘以分数的意义;有利于突出分数除法“应用题”的教学关键——找等量关系式;更有利于化解分数除法“应用题”的教学难点——用迁移的规律促使乘、除法的融合,使学生理解除法与乘法具有同样数量关系,只是看作单位“1”的数量原来是已知的,现在是未知的。除此之外,笔者还认为,在传统“应用题”教学中,长期积累下来的(如用分析与综合的方法分析数量关系等)有效经验,该继承的我们要大胆继承,使新课改在继承与创新中不断深化。

 

注:此文发表在《中小学数学》小学版2011年第4期上

2011年04月30日

三年级学生理解和倍、差倍关系的教学实验与研究
为什么学生听懂了却不会用

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