从整体性上把握好数学内容

    刘春艳老师在“平面向量的数量积”教后反思中谈到,由于“整体意识”不够,降低了对引入数量积概念的必要性及其作用的关注度,致使教学就事论事,缺乏应有的瞻前顾后。刘老师的反思切中要害,也是当前课堂教学需要关注的普遍问题。
    强调把握好数学内容的整体性,是由数学的学科特点决定的。这种整体性,包括内容的整体结构(概念及其相互联系),以及前后一致的由内容反映的数学思想方法。
    向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一。将它引入高中数学,主要目的是为了沟通代数、几何与三角函数,使学生在了解向量的几何背景和物理背景,理解向量及其运算的意义的基础上,学会用向量的语言和方法表述和解决几何或物理中的一些问题。
    从整体上看,为了解决几何问题,必须先用向量及其运算表示几何元素、相互关系和基本几何量。空间最基本原始的概念是位置,有向线段 描述了A,B两点所标记的两个位置间的差别;自由向量是将这种“位置差别”定量化的一个基本几何量,其本质内涵是 的方向与长度,即认为方向相同长度相等的两个向量是相等的。另一方面,从代数角度考虑,“引进一个量就要定义它的运算;定义一种运算就要研究它的运算律”。因此,引进向量后,要定义向量的加法、数乘运算和数量积。这样定义满足了“几何元素的向量表示”的要求:
    设直线l的方向向量为e,A是l上的定点,则直线l上任一点X可定量表示为:

 

O是平面内的任意一点);
    设是平面α上两个不共线向量,A是α上的定点,则α上每一点X可定量表示为:O是空间任意一点);
    两个不平行向量的“位置差别”由它们的夹角定量表示,向量的模表示了它的长度,而数量积则提供了表达、计算长度、角度的公式。
    考察向量运算律的几何意义,可以发现空间的基本性质和几何的基本定理都能有系统地转换成向量代数中的运算律。例如:
    平面几何关于平行的基本定理就是平行四边形各种特征性质之间的转换,其“向量表示”就是向量加法的交换律;
    相似三角形定理用向量数乘运算来表达就是数乘分配律;
    长度和角度的基本定理,即勾股定理和余弦定理,可用向量的数量积来有效地计算,而数量积的分配律则是勾股定理的提升和精简所得,也可以说是勾股定理代数化的最佳形式(项武义)。
    总之,向量及其运算提供了表达、计算各种几何量的代数工具,而且向量运算律本身也是一套完美精简的几何基本定理。把握住这些,就执住了向量教学的牛耳。
    日常教学,概念一个个地教,定理一个个地学,容易迷失在局部,见木不见林。长此以往就会导致坐井观天、思路狭窄、思维呆板,局限于一招一式的雕虫小技而不能自拔。把握好整体性,对内容的系统结构了如指掌,心中有一张“联络图”,才能把准教学的大方向,才能使教学有的放矢。也只有这样,才能使学生学到结构化的、联系紧密的、迁移能力强的知识。


本文为《中小学数学》高中版2010年第3期编后漫笔

2011年05月06日

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