核心概念最有力量


    本期刊登了年届九十的陈振宣老先生撰写的《向量在轴上的射影的辨析》一文,本刊感到荣幸。从陈老先生的文章中我们感受到了我国数学教育前辈孜孜不倦、严谨求真的风范。他的责任心令人钦佩,他“默而识之,学而不厌,诲人不倦”的精神值得大家学习。
    陈老先生文中提到的轴上的向量(即一维向量 的数量 这一核心概念,与大家熟悉的有向线段的数量相通,直观、易懂、有用、好用。这种直观性与人的直觉完全一致,与学生在实数学习中建立的经验相吻合——用正、负数表示具有相反意义的量。向量是带有方向的量,它有大小和方向两个属性;向量的数量也有两个属性,符号(正、负)和模(大小)。两者之间的内在联系是:正、负号表示了向量的方向(以单位向量的方向为基准),模表示了向量的长度。
    特别值得重视的是用符号代表方向,它奠定了轴上向量数量化的基础,由此就可以实现用实数表示向量:
    在轴x具有方向和长度单位的直线)上取一点O为原点,得数轴Ox,并设它的基向量为e,则Ox上任意一点P与向量 一一对应,而且。实际上, 就是数轴Ox上点P的坐标p。由此可方便地推出数轴上两点间距离公式。
    进一步地,可以把点在轴上的运动、轴上的向量加法、实数的代数和等统一起来:
    在轴x上,一个点从点A运动到点B,再从点B运动到点C,无论两次运动的方向如何(可以区分出四种情况),都有 。这一等式的代数意义实际上就是实数的代数和(表示了多次变化的结果)。
    更进一步地,在平面直角坐标系中,借助于平面向量在轴上的射影概念(联系平面向量与一维向量的桥梁),利用轴上向量的数量,就可推出平面直角坐标系的基本定理,从而方便地推出两点间的距离公式、斜率公式、定比分点公式、三角形面积公式……这一套概念和理论能容易地推广到三维空间中去。
    在上面的讨论中,我们特别强调了用符号表示方向的重要性,由此才有 。也许有人会问,这不就是一个常识吗?值得如此重视吗?是的,值得重视,而且它很重要。它叫夏尔(或译为沙尔)定理,夏尔本人(Michel Chasles,19世纪重要的法国数学家)称之为“几何学的基本定理”,其实质意义是让几何量带上符号。“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学,这样做有极大的好处。初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况,而现在用几个简单的一般定理就可以概括。”(F·克莱因)例如,让角带上符号而成为任意角,于是就有:设角α的始边、终边分别为OAOB,让OB旋转任意角βOC,则由OA旋转到OC的角是αβ。否则就必须考虑:在OB旋转到OC时,是按顺时针还是按逆时针?因此,夏尔定理也是研究三角函数的基础。
    中学数学核心概念往往具有鲜明的直观背景,简单、易懂且威力无穷,是开启中学数学大门的金钥匙。广大教师应加强修行,远离“题型+技巧”的雕虫小技,提升自己的鉴宝能力,集中注意力于核心概念,学会用金钥匙打开数学宝藏的方法,这样才能实现“减轻负担,提高质量”的宏愿,同时也使自己功德圆满。


本文是《中小学数学》高中版2010年第10期编后漫笔


2011年05月06日

“题型+技巧”的危害
要把精力集中在核心知识的研究上

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