首都师范大学数学科学学院(100048)    方运加

 

乍听说“数学课标”(2011年版)有“十大核心概念”,难以置信!在尚未究竟有哪十大的情况下,先自检讨本人观念是否已陈旧。

一、核心

我的认知是,果实有核是自然现象,例如苹果的核(core)、果实的核(kernel);因大多位居果实的中心位置,故称“核心”(core)。一颗果实的“核心”一般只有一个。

“核心”是名词,也发挥比喻形容的作用,喻意明确且给力。例如:

“核心力量”毛主席教导我们说:“领导我们事业的核心力量是中国共产党”;今天,我们事业是实现中华民族伟大复兴。

“核心价值观”党的十八大提出,倡导富强、民主、文明、和谐,倡导自由、平等、公正、法治,倡导爱国、敬业、诚信、友善,这是社会主义核心价值观的基本内容,而社会主义核心价值观是社会主义核心价值体系的内核。

“核心意识”党的十八届六中全会正式提出“以习近平同志为核心的党中央”。邓小平曾指出:“任何一个领导集体都要有一个核心,没有核心的领导是靠不住的。”这就是“核心意识”。

“核心利益”网络空间体系由物理层(基础设施)、应用层(互联网平台及其广泛应用)、核心层组成。其中核心层包含政权、法律、政治安全和意识形态,涉及执政根基,是一个国家的核心利益。国家正是通过核心层的把控即对国家境内的信息基础设施及承载的信息的天然管辖权来维护网络空间疆域的国家“核心利益”。

“核心问题”艺术教育家潘公凯认为:“中国画的笔墨问题是中国画领域一个核心问题”;“笔墨在中国绘画发展传统历史中一直是核心”。

“核心标准”19世纪美国经济学家托尔斯坦·凡勃伦在《有闲阶级理论》一书中指出,从19世纪早期开始,金钱成为商业社会衡量每个成员的核心标准。

“核心球员”以足球为例,一般指中场球员中,个人能力明显超过场上其他队员且具备很强的组织和领导力的队员。另外,还有特定位置的核心球员,例如“核心后卫”。许多著名的足球俱乐部都有自己的“核心精神”,例如欧洲巴萨俱乐部的核心精神是“宁可输掉比赛,也要控制对手”(巴萨是以控球率为第一位,将对手牢牢控制住);米兰俱乐部的核心精神是“永不言败,忠诚。”

“核心成员”也常见于各种场合,例如,制定“数学课标”的人员可能很多,但实际只有少数人参与编写,他们或自称或被称是“核心(组)成员”(core group)。

数学科学是否有“核心标准”、“核心问题”、“核心概念”一类的说法,是否有“核”或“核心”?数学属下各分支多有含“核”字的专业术语,例如对策论中的“核心”(core),其表达是一个n维向量;还有核形式(kernel form,核方法、核广义函数、核算子、核空间、核型等百个以上拥“核”名词。但日常数学学术讨论中,凡涉及评价、评论、定性、定论、强调一类的用语,数学工作者惯有的严谨性使得他们并不轻易的运用“核心”一词。当然,他们也并不吝用夸张的说法,例如数学人可以从一些不言自明的道理(公理)出发来延拓出一个系统,这个系统有规则、有定义、有定理、有推论、有公式,其中确有关键概念、基本定理、万能公式、万能代换之说。至于关键与否、是否基本、真万能吗?那要看目的是什么,语境为何。若多数人都认可某公式用途多,用“万能公式”这个夸张性称谓凸显其功,可令学生更重视,那么,冠其“万能”之名并无不可。好在,能获此殊荣的公式,在初等数学领域也就那么一二个。

几何圆,有一个心,叫“圆心”(center of a circle),算是最靠近“核心”意义的概念了,但这是一个几何意义上的无大小、无间厚的抽象点(point),不被称为“核心”的原因在于圆心是抽象的存在,是虚的,而“核”具有实在性,例如苹果核是个集合了“籽”的体(部分),这是植物界的常态。“核”字有木,也道明了“核”字的源出。三角形有多个“心”,那都是不同定义下的抽象点,一般不说三角形是多“心”或多“核心”图形。虽然“核心”一词的运用有极大丰富性,但由约定或共识形成了某些运用原则,使得该词可用但不能乱用。

二、核心概念

作为数学工作者,他们中有人将某一观念、某一思想、某一问题置于“核心”或“中心”的地位,即提炼出“核心观点”,这是正常的,但仅限于其所研究的领域或分支中,不大可能是整个数学科学的“核心”;而且在所涉领域或论域中,论题层级的“核心”与论域层级的“核心”,其作用范围有所不同。在同一范围(或层级)内具有“核心”属性的事物数量一般不多于1,具有唯一性。多“核心”导致矛盾的机率大,容易引发概念混乱。

拿希尔伯特几何公理系统来说,有称之为点、线、面的研究对象,有规定了点、线、面之间关系的20条公理,之后还有不断延拓的定义及推导出的定理,但什么是贯穿始终的“核心问题”,每位研究者都可以有自己的理解。如果一定要说出一个来,可能就是自欧几里得撰写《几何原本》之后,人们曾长期感觉的不踏实。因为有“平行公设”、“三大尺规作图”等基本问题曾经长期未能证明或解决,因此,已有几何知识的功能性、可靠性、真理性成为人类持续思考了两千多年的核心问题,几乎是推动数学发展的“永动机”;由此可说:提出问题、解决问题从来都是数学的核心问题。若问究竟哪条公理或哪块知识位居几何学的“核心”地位,估计会有许多从事数学研究的人对这个问题动过念头,只是各种想法博弈的结果是:找不出可以为大家所公认的“核心概念”,于是干脆不提这个词,不涉由此引发的无聊讨论。

再拿策莫罗一弗兰克尔的集合论公理系统(ZF系统)来说,该系统用9条公理定义了一度无法定义的概念——集合。这话似乎不通,怎么会有无法下定义的概念却又被一组公理定义了?是的,人们在尝试定义集合概念时,发现无论怎样定义,都会产生逻辑矛盾(例如“罗素悖论”),于是放弃了康托尔提出的内涵式的概念表达方法——“概括原则”,即放弃表述“集合是什么”的努力,转用外延法,用陈述、列举的方式分9条规定了若干初始性的集合及集合形成的方式,陈述“什么是集合”。例如,存在“空集合”等等。凡公理中未被列举的,以及不符合ZF系统界定的集合生成方式的,都不被承认为是集合。象“一切集合的集合”这类不合乎ZF系统规定的总体,就不被承认是集合。一种新的定义方式——公理化定义就此产生,ZF系统定义了集合概念。

在现行中学教科书中,集合被说成是一个不定义的原始概念,这样处理,方便学生认知,避免了节外生枝。数学中,集合是汇集广泛的研究对象,是最基本的概念,能否算是“核心概念”?无人这样说。这个海纳百川的研究对象,同“最大”、“最小”的表述一样,须谨言慎用,因为这类概念的运用具有排他性。集合的包容性是无可比拟的,这使得构造非集合的对象成为不那么简单的事。例如,假设存在一切可被称之为“核心”的事物的集合,如果要研究这样的集合,需有一个前提,即这个集合本身不能是“核心”,否则会导致出现“xx”这违反了ZF系统中的“正则公理”。我想,数学之严谨,可能就在这里。若非公认的“核心”,怕是没人生造“核心”。

三、核心具有“唯一性”

人们曾认为太阳系有九大行星,2006年,因冥王星被确认不满足行星的定义而被国际天文学联合会大会除去行星之名。现在的说法是,太阳系已知的行星有8个。有关研究表明3年内有可能找到质量约为地球10倍、与太阳的平均距离大约是海王星的20倍的第九颗行星。从某种意义上说,矮行星冥王星比地球更富有,因为,地球只有一个卫星——月亮,而冥王星有五个卫星,从冥卫一到冥卫五,其中的冥卫一被推测(天文观测加推理)曾经有一个内部水海洋。不妨问:冥王星有核心吗?这要看怎么讲,是从形来说,还是从质来讲,因为形状意义上的中心和质量意义上的中心(质心)可能不是一回事,不说清楚了,概念会混乱。这还好说,毕竟几何意义上的心或质量意义上的心还都在冥王星上。但若算上那五个卫星呢,共六个家伙,应该有六个“核心”,这六个“核心”组成的冥王星系统的“核心”又在哪儿?这事复杂了!人们经过观测计算已经知道,这个系统的质心离冥王星很近,可以精确推算出其空间位置,但并非是可见实物,不在冥王星上,是看不见的客观存在,是用数学等方法断定的存在。看来,虽然这六个家伙各有各的“核心”,但整体考虑它们构成的系统,则只有一个“核心”。若这个“核心”不稳定,就会百变多怪,冥王星系统就会出大乱子,可能早就不是我们现在看到的样子了。所以,“核心”不宜多是系统简化或效率的要求,是客观规律,人为捏造众多“核心”只能添乱。冥王星系统虽然有六个个体,可以各为核心,但这样研究问题没有什么意义,因为从哪个角度看都存在着一个归一的实质。违反事物发展规律的臆造,除了添乱,不会有好结果。

事或物的“核”或“核心”是反映事物属性的,发挥了区别事物之间异同的根本性作用,且具有相对的唯一性。多了,就会出现系统性的紊乱或分裂,随着时间推移,在一定条件下,终究会走入“归一”的过程。同质意义上的核(心)具有相对的唯一性。例如,在真核生物中,其活力是直接由细胞核内基因控制的,即多数DNA位于细胞核中,并形成了很多纵向体,叫做染色体。遗传物质由DNA(脱氧核糖核酸)分子组成,这是一个双螺旋的结构。说明,“核”是生命的属性。同样,核也是万物的属性,每一种物质元素的原子核是唯一的,不会超过1个,不会有两个中心,而且,原子核的几何形态的确是圆的。

四、核心概念应宁缺勿滥

从上述联想回到面临的现实,发现“课标”中的相关表述不过是要求教材编写“注重突出核心内容”、“整体体现课程内容的核心”,并提出了10个“核心词”:数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。

“核心概念”是研究“课标”的专家们的“发明”。“核心词”(Keyword)是学术论文中与内容提要(摘录)一起出现的关键词(Keyword)的另种译法。国外数学教育书籍中的Keycorehingekernel等词,被国内译者几乎一律译为“核心”,以为如此翻译就可以比“关键概念”、“关键知识”、“关键课程”、“关键词”更显重要、更有力度。现实中,除了美语中有将core指称为某大学某学院的“核心课程”的情况,一般的,准确含意应该是“关键的”、“要点”、“重点的”或“主要的”,而非“核心”。用“核心”修饰的对象具有唯一性,“关键的”则可以有多个。

按照北师大一位教授公布的“中国学生发展核心素养研究成果”的以培养“全面发展的人”为核心的三个方面之一的文化基础,数学只是这个基础中的诸多学科之一,却已赫然列出了十大“核心概念”,那语文、劳技、思品、体育、科学、信息科学、音乐呢?这得有多少个“核心”啊。据了解,各科“课标”的一个显著特征就是“核心”众多。例如高中××科有多达15个“核心概念”。

戴了“核心”帽子就能凸显重要性?就是高大上?亦或是有威慑力?实际情况是,即便按照所开列的“核心概念”看,重要性不低于它们,但未列入的“概念”还有很多。

例如,若“几何直观”可以作为“核心概念”,为何“几何抽象”不能入列“核心概念”?这里建议大家读读本刊2017年第3期小学版发表的苏娇老师的文章,她在《如何教学“1/2 》一文中特别指出“数学思维最大、最核心的本事在于抽象概括”,她还指出:“数学概念的形成本质上是一种抽象概括的过程。”苏老师是教学一线的普通教师,显然,她对数学教育的认识是深刻的,而追求多核心的人士则似乎缺乏或轻视“抽象概括”的意识。“抽象概括”应该是每一节数学课都必做的事。

五、核心概念忌混乱

被奉为“核心概念”的“空间观念”、“数据分析观念”中均后缀“观念”一词。在形式逻辑中,观念是对感觉的初步概括的结果,是对感觉初步加工的一件半成品,是从感觉到概念的过渡形式,观念的特征首先在于直觉性,观念是事物的形象在人的意识中的复现,是人类的心理活动形态之一,距离概念程度的认识水平还相差一截,何以成了“核心概念”。

编写者有可能并未采用形式逻辑中的观念(表象)定义,而是从思想意识这一义项来运用该词。意识是人的头脑对于客观物质世界的反映,是感觉、思维等各种心理过程的总和。那么何不就采用“空间意识”、“数据分析意识”这样的提法,省得造成“空间观念”是对空间感觉初步加工的半成品的误解。倘若在大庭广众之下说“空间观念”是“核心”概念,显然的风险来自“何谓空间观念?”应该认识到数学意义的空间本身就极具抽象性,与生活空间、地理空间有质的不同。将某种难以精确表述的“观念”当作“核心概念”,不象“数学人”做的事。

课标(2011版)提到“数据分析是统计的核心”,表明该“核心”的适用范围是统计。在这同一册书中还提出“数据分析观念”是核心词。研究“课标”的专家进而将“数据分析观念”入列十大“核心概念”,与其它“核心概念”并列。众所周知,“数据分析”是大学数学专业的一门课,是运用数据来“间接认识”事物内在规律的学问,拥有一个仍在发展或扩充的概念系统,绝不仅仅是“一个概念”。近些年,由其延拓出的“大数据分析”,表明这是一个极富生命力的领域。数据分析意识在基础教育阶段是通过数学基本课程学习递延出的数学素养,是逐步养成的自然过程。将“数据分析观念”奉为“核心概念”,相当于啥都没说。有关人士对“核心”偏爱有加,但运用拙浊,凸显对语言文字把握之欠缺。

不妨试想:这“十大核心概念”中的任若干个若放在一起,会怎样呢?以认识三角形为例,这个内容的教学被认为可以培养学生的空间观念、几何直观、推理能力,只是,这三个核心词在教学中如何落实呢?

三角形是几何概念,而非客观实在,现实世界不存在这个图形,但却表现为无所不在。这反映了抽象的力量,说明哪怕是三角形这样一个极其简单的抽象图形,也高度概括了现实中的大量个别事物的一般性规律。仅从“空间”意义下的三角形本身来看就是一个由个别到特殊,由特殊到一般的抽象过程,这个抽象过程随着数学学业的进展仍将持续着。

一、二年级小学生能够形成的事关三角形的数学空间观念是什么呢?是通过这个知识认识到两点之间线段最短,还是识途认路不撞南墙,或是了解空间是万物存在的形式,亦或是对空间方位的约定,更是对客观事物形体及其关系的概括。因为是小学数学课程,而非生活常识课,所以小学数学的开蒙教育的重点应该放在简单的数学抽象上,即放在教给学生抽象方法上,如此教学的设计应该是:由个别到特殊,再由特殊到一般的概括;还应该设计间接认识事物的方法提炼过程,其中,推理就是间接认识事物的利器。这里想提醒诸位,人类可是从7岁开始逐渐形成演绎推理能力的。今年是鸡年,研究表明,连鸡都可以根据自己在啄食顺序中的地位进行演绎推理。有了这样的教学意识,根据三角形的特征就可以间接认识到两点之间线段最短。总之,“概括”和“间接认识”这两种能力均可通过对“三角形”的学习来获取。是对“识途认路”水平的提升,而绝不仅是识途认路本身,这类抽象体现了几何学的教育价值。

有些人总认为抽象是难的,是认知负担。错!小学数学中的抽象做的是将复杂繁难的现实简单化,概括成能学习、易传授的知识形态。数学是养成抽象能力的重要途径,而且是从认识1、认识圆、认识直、认识多与少的区别等抽象概念开始学习抽象方法的。在数学学习的初期,直观性是不可或缺的,正如画家临摹写生,看一眼,画一笔,看看画画,再看看再画画,将立体的客观实在,经过直观、记忆、思考、加工,表达为平面上的画面,这是数学教学中应予借鉴的“直观方法”。

数学中的将立体转化为平面,抽象出的是由几何基本图形构成的轮廓,正如同把一座大楼勾勒成平面上的长方体一样,是去掉了其他的非几何性质的抽象过程,表明几何直观乃是抽象的直观。初学几何学,这是一个必须的过程,这个过程谓之“几何直观”。其核心性体现在哪儿?它和“空间观念”的关系是什么?须知几何学的研究对象就是空间与图形,研究的方法包括直观、还包括实验、包括模仿、包括类比、包括推理、包括抽象、包括讨论、包括应用、包括同学提示,凭什么说“几何直观”就是“核心概念”呢?“核心概念”与思想方法、认知方法的关系是什么?发挥了哪样核心作用?更何况,数学学习的一个很重要的能力目标就是摆脱直观的束缚,那种离开直观就迈不出步的发展显然背离了数学教育的本意,学数学要培养的能力之一就是抽象能力,而抽象能力的表现之一,就是能够识别或推断出表象背后的真象,发现看不到的或无法直观到的真理或事实。

几何学中的几何作图就是直观中有抽象、抽象中有直观的。从几何图形的构成来看,其点、线、面、体本身都是抽象的产物,由点、线、面、体构成了类似三角形这样的或简单或复杂的图形,直观表达了几何学中的各种问题或关系。例如做辅助线的能力就不是临摹画画的写实能力,而是几何抽象的能力,是把隐藏于点线面体之间的关系通过作辅助线来显性化,是揭示、是创造、是建立关系、是推理,采用的是直观易理解的作图方式,即利用直观表达了问题条件中隐含的关系,使其明朗化。这就是直观,是抽象到一定程度的直观——抽象的直观,二者相辅相成。

为何偏要让“几何直观”充当“核心概念”,而“几何抽象”就不是“核心概念”呢?这不仅仅是欠考虑,很可能是意识的反映,值得深思。

六、本文核心观点

数学教育本应以近水楼台先得月的便利从数学中汲取营养、力量、方法、特长,可惜,在当前这是被忽视的!数学的严谨性在各行各业、各学科中发挥的是表率作用,这也应该是数学教育的价值追求,否则数学教育的功能是要打对折的。但从10个核心词看,后缀有:感、意识、观念、能力、直观、思考。这些字词与基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验有怎样的关系?几乎无人细究。仅就“数感”这个核心词来说,课标解释为对数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟(comprebend)。感悟是个庞杂而不具精确性的表达,表示的是对特定事物或经历所产生的感觉与体会,其表现有渐悟、有顿悟、有感受、有领悟、有开悟。悟的程度上下幅度之宽,难以定性描述。但人所共知,数、数量、数量关系、运算结果都具有认识上的确定性,即便是估算,也必定是建立在对数及其运算有精准认识的基础上的,这些内容属于基础知识,是必须掌握的基本技能,都不是感觉层面的要求。数,哪怕是最初始的“1”这个数,对其认识也属概念层面,与感觉层面的对一块糖、一个苹果的体悟是不同水平的。可以说“数感”(number sense)这个中文词从哪个角度看都不是一个含义准确或有意义的词,作为外来词,其英文原意是“数的意识”,意识水平可以有不同,但起码都是概念层面的认识,其意义相对容易理解或掌握。“数感”若按字面解释被认为是对数的感觉或对数的感悟,将概念水平的数直降至感觉层面的物,对数的认知不升反降,货不对板啊!遑论“核心概念”。

另外,“应用意识”和“模型思想”这两个“核心词”从课标的解释看,显然有不小的“交集”,但数学中的“模型思想”的客观描述远不止于此,例如“数据分析”的对象就包括“数据模型”,这些知识要到高中段之后才可能有相对准确的认识;数学模型的建立与算法多样化是紧密联系的,数学建模中,面对同一对象,不同的建模者(团队)可以给出不同的数学模型,这是“算法多样化”的准确含义。因此,对九年义务教育段的学生来说,理解“数学模型”有根本性的困难,且容易产生许多误解,倒不如培养“数学应用”的意识来得直接和可行。

数据分析是“运算能力”和“推理能力”基础上生成的能力,对其要求应是重视或掌握基本的数据分析方法,而远不止是上不着天、下不落地的所谓“观念”。

符号表达是一种数学能力,是从认识数就开始了的能力学习内容。运算、推理、数据分析及至应用都离不开符号,这种能力的形成具有习惯成自然的特点。用符号定义、运用符号完成数学过程是数学活动的家常便饭,数学的每一层级的抽象都离不开用符号来概括或定义。“符号意识”绝不仅是一个概念,即便是被捧为“核心概念”,它起码是数学能力构成的重要部分。

咱虽然不怀疑专家们的专业水准,但从某些“课标”研究的文章看,缺乏研究或认真态度是显而易见的。反映了数学教育面临的问题之一是:忽悠有余、认真不足。写到这儿,相信读者不难看出本文的核心观点是:必须摒弃“忽悠有余、认真不足”,使数学教育得到科学发展。

 

(本文系方运加为《中小学数学》小学)2017年第3期撰写的编者语)


2017年05月26日

攀登未知高度的顶峰(续四)

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